Exemplos De Função Do 2 Grau, o nome já diz tudo: vamos mergulhar no fascinante universo das funções quadráticas, explorando suas características, aplicações e segredos. Prepare-se para desvendar as parábolas, essas curvas que tanto intrigam e desafiam, e entender como elas se manifestam em diversas áreas da vida.
Começaremos definindo o que são funções do 2º grau e sua forma geral, desvendando o significado de cada coeficiente. Através de exemplos práticos, veremos como essas funções se aplicam em diferentes contextos, desde o lançamento de um projétil até a análise de custos em um negócio.
Introdução à Função do 2º Grau
A função do 2º grau, também conhecida como função quadrática, é uma função polinomial de grau 2, definida por uma equação da forma:
f(x) = ax² + bx + c
onde a, b e c são coeficientes reais, com a ≠ 0. O coeficiente a determina a concavidade da parábola (para cima se a > 0, para baixo se a < 0), b influencia a posição do vértice da parábola no eixo x, e c representa o ponto de intersecção da parábola com o eixo y (ordenada na origem).
Exemplos de funções do 2º grau em diferentes contextos:
- Física:A trajetória de um projétil lançado no ar pode ser modelada por uma função do 2º grau.
- Economia:A função do 2º grau pode ser utilizada para analisar o custo de produção de um produto, com base na quantidade produzida.
- Engenharia:A função do 2º grau é aplicada no cálculo da resistência de materiais, como vigas e pilares, em estruturas de pontes e edifícios.
Gráfico da Função do 2º Grau
O gráfico da função do 2º grau é uma parábola, uma curva simétrica em forma de U. A posição do vértice da parábola determina a sua localização no plano cartesiano, e a concavidade indica se a parábola se abre para cima ou para baixo.
Vértice da Parábola
O vértice da parábola é o ponto de mínimo (se a > 0) ou de máximo (se a < 0) da função. Suas coordenadas podem ser encontradas pelas fórmulas:
xv=
b / 2a
yv= f(x v)
A posição do vértice em relação ao eixo x indica se a função possui raízes reais. Se o vértice estiver acima do eixo x (y v> 0), a função não possui raízes reais. Se o vértice estiver abaixo do eixo x (y v < 0), a função possui duas raízes reais distintas. Se o vértice estiver sobre o eixo x (yv= 0), a função possui uma raiz real dupla.
Concavidade da Parábola
A concavidade da parábola é determinada pelo sinal do coeficiente a. Se a > 0, a parábola se abre para cima, indicando um ponto de mínimo. Se a < 0, a parábola se abre para baixo, indicando um ponto de máximo.
Raízes da Função do 2º Grau
As raízes da função do 2º grau são os valores de x para os quais f(x) = 0. Em outras palavras, são os pontos onde a parábola intersecta o eixo x. As raízes também são chamadas de zeros da função.
Métodos para Encontrar as Raízes
- Fórmula de Bhaskara:A fórmula de Bhaskara é uma fórmula geral para encontrar as raízes da função do 2º grau. Ela é dada por:
x = (-b ± √(b²- 4ac)) / 2a
onde Δ = b² – 4ac é o discriminante da equação. O discriminante indica a natureza das raízes:
- Se Δ > 0, a função possui duas raízes reais distintas.
- Se Δ = 0, a função possui uma raiz real dupla.
- Se Δ < 0, a função não possui raízes reais.
- Fatoração:A fatoração é um método para encontrar as raízes da função do 2º grau, expressando a equação como o produto de dois fatores lineares. Esse método é aplicável quando a equação pode ser fatorada facilmente.
- Soma e Produto das Raízes:As raízes da função do 2º grau podem ser encontradas utilizando as relações entre a soma e o produto das raízes e os coeficientes da equação. A soma das raízes é dada por
b/a, e o produto das raízes é dado por c/a.
Comparação dos Métodos
A fórmula de Bhaskara é um método geral que pode ser usado para encontrar as raízes de qualquer função do 2º grau, independentemente da sua fatorabilidade. A fatoração é um método mais rápido e eficiente quando a equação pode ser fatorada facilmente.
A soma e o produto das raízes é um método útil para encontrar as raízes quando a equação é dada em termos de suas raízes.
Aplicações da Função do 2º Grau
| Área | Exemplo | Função do 2º Grau | Interpretação |
|---|---|---|---|
| Física | Lançamento de um projétil | h(t) =
|
h(t) representa a altura do projétil em relação ao solo em função do tempo t, g é a aceleração da gravidade, v0é a velocidade inicial do projétil e h 0é a altura inicial do projétil. |
| Economia | Análise de custos e lucros | L(x) =
|
L(x) representa o lucro de uma empresa em função da quantidade x de produtos vendidos, a é o custo variável por unidade, b é a receita por unidade e c é o custo fixo. |
| Engenharia | Construção de pontes | f(x) = ax² + bx + c | f(x) representa a forma do arco de uma ponte em função da distância x do centro da ponte. |
Exercícios e Questões
Exercício 1
Determine o vértice e a concavidade da parábola representada pela função f(x) = 2x² – 4x + 1.
Solução:
O coeficiente a = 2 é positivo, então a parábola se abre para cima. O vértice da parábola tem coordenadas:
xv=
- b / 2a = 4 / (2
- 2) = 1
yv= f(x v) = 2(1)²
- 4(1) + 1 =
- 1
Portanto, o vértice da parábola é (1, -1) e a concavidade é para cima.
Exercício 2
Encontre as raízes da função g(x) = x² – 5x + 6.
Solução:
Podemos encontrar as raízes da função g(x) usando a fórmula de Bhaskara:
x = (5 ± √(5²
- 4
- 1
- 6)) / (2
- 1) = (5 ± √1) / 2
Portanto, as raízes da função g(x) são x = 2 e x = 3.
Exercício 3
Um projétil é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial de 20 m/s. A altura do projétil em relação ao solo em função do tempo t é dada pela função h(t) = -5t² + 20t. Determine o tempo que o projétil leva para atingir a altura máxima e qual é essa altura máxima.
Solução:
A altura máxima do projétil corresponde ao vértice da parábola representada pela função h(t). As coordenadas do vértice são:
tv=
- b / 2a =
- 20 / (2
- 5) = 2 s
h(tv) =
5(2)² + 20(2) = 20 m
Portanto, o projétil leva 2 segundos para atingir a altura máxima de 20 metros.
Exercício 4
Uma empresa produz e vende um determinado produto. O custo de produção de x unidades do produto é dado pela função C(x) = 2x² + 10x + 50, e a receita obtida com a venda de x unidades é dada pela função R(x) = 20x.
Determine a quantidade de produtos que a empresa deve vender para obter o lucro máximo e qual é esse lucro máximo.
Solução:
O lucro da empresa é dado pela diferença entre a receita e o custo: L(x) = R(x) – C(x) = 20x – (2x² + 10x + 50) = -2x² + 10x – 50.
O lucro máximo corresponde ao vértice da parábola representada pela função L(x). As coordenadas do vértice são:
xv=
- b / 2a =
- 10 / (2
- 2) = 2,5 unidades
L(xv) =
- 2(2,5)² + 10(2,5)
- 50 =
- 12,5 reais
Portanto, a empresa deve vender 2,5 unidades do produto para obter o lucro máximo de -12,5 reais. Note que o lucro máximo é negativo, o que significa que a empresa está tendo prejuízo.
Exercício 5
Determine a equação da parábola que passa pelos pontos (1, 2), (2, 1) e (3, 2).
Solução:
A equação da parábola é dada por f(x) = ax² + bx + c. Substituindo os pontos dados na equação, obtemos o seguinte sistema de equações:
- a + b + c = 2
- 4a + 2b + c = 1
- 9a + 3b + c = 2
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos a = 1, b = -4 e c = 5. Portanto, a equação da parábola é f(x) = x² – 4x + 5.
FAQ Compilation: Exemplos De Função Do 2 Grau
Como identificar a concavidade de uma parábola?
A concavidade da parábola é determinada pelo coeficiente “a” da função do 2º grau. Se “a” for positivo, a parábola terá concavidade para cima. Se “a” for negativo, a parábola terá concavidade para baixo.
Qual a diferença entre as raízes de uma função do 2º grau?
As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde o gráfico da parábola intersecta o eixo x. Existem três possibilidades: duas raízes reais distintas, uma raiz real dupla ou nenhuma raiz real.
Para que serve a fórmula de Bhaskara?
A fórmula de Bhaskara é uma ferramenta fundamental para encontrar as raízes de uma função do 2º grau. Ela permite calcular as raízes, mesmo em casos onde a fatoração não é possível.